Ферментативная кинетика, теорема Тихонова.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ПО ТЕМЕ:

Ферментативная кинетика, теорема Тихонова.

 

 

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают поведение некой системы:

 

 

Упрощение математической модели заключается в уменьшении числа уравнений и, вместе с этим, числа параметров, определяющих поведение системы. Даже сравнительно простые биохимические процессы  состоят из многих стадий и содержат много промежуточных веществ. Математическая модель, буквально соответствующая цепи биохимических реакций, содержит много (несколько десятков) переменных и, соответственно, уравнений. С другой стороны, большинство удачных и содержательных математических моделей состоит из двух-трех нелинейных уравнений. Поэтому имеет смысл рассмотреть способ редукции системы n уравнений (n~101­–102)  к системе значительно более низкого порядка.

 

Пусть нам удалось после ряда преобразований и выбора соответствующих масштабов представить систему (1) в виде:

 

 

т.е. расположить ее по степеням малого параметра e при производной. Легко заметить, что коэффициенты e и e2 фактически определяют скорости изменения концентраций. В самом деле, систему (2) можно легко представить также в виде:

 

 

где  T1 = e2,   T2 = e, T3 = 1. Если мы интересуемся поведением всех переменных, как на малых отрезках времени порядка  e2,  так и на временах порядка единицы, то нам необходимо исследовать полную систему (2).  Если же нас интересуют явления, происходящие в системе на средних временах T2 ~ e,  то уравнения (2а)  с постоянной времени  e2  будут описывать очень быстрые процессы, а  уравнение (2в), наоборот, – очень медленные (по сравнению с временем T2) процессы. Относительно последних можно сказать, что за время T2  начальные значения переменных  xk   не успевают заметно изменится,  т.е. в оставшихся уравнениях эти медленные переменные можно заменить постоянными (начальными) значениями. Тем самым порядок системы (2) снижается.

 

Оставшуюся систему l+m уравнений можно редуцировать дальше. Поскольку T1  – время установления переменных  xi  – много меньше характерного времени T2  системы (2б), то эти переменные успеют достигнуть своих стационарных значений раньше, чем переменные  xj  успеют заметно измениться  (для этого, конечно, обязательно, чтобы система (2а), описывающая быстрые процессы, имела устойчивое стационарное состояние). Заменим теперь в уравнениях (2б) xi  на их стационарные значения, мы снова понизим порядок системы и оставим лишь m дифференциальных уравнений, характерные времена которых одного порядка  ~ T2 ).

 

Следует отметить, что указанным методом редукции давно пользуются химики, называя его методом стационарных концентраций или принципом стационарности  Боденштейна. Мы приведем здесь формулировку известной теоремы Тихонова.

 

Запишем систему N уравнений, часть из которых содержит малый параметр e перед производной:

Назовем систему (3а) присоединенной или быстрой, а систему (3б) при e=0 – вырожденной или медленной.

 

Теорема. Решение полной системы (3) стремится к решению вырожденной при e®0, если выполняются следующие условия:

 

a)      решение  – изолированный корень алгебраической системы

(в его e-окрестности нет других корней);

 

b)     решение  – устойчивая изолированная особая точка присоединенной системы (3а) при всех значениях ;

c)     начальные условия  попадают в область влияния устойчивой особой точки присоединенной системы;

d)     решения полной и присоединенной системы единственны, а правые части непрерывны.

 

В моделях биологических процессов условия (a), (c) и (d), как правило, выполняются (случаи их нарушения встречаются редко). Однако условие (b) нарушается в широком классе моделей автоколебательных процессов. Заметим, что число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: все начальные значения быстрых переменных оказываются “лишними“ и никак не фигурируют в вырожденной системе.

 

 

 

Рассмотрим теперь классическую модель ферментативной кинетики:

 

 

 

 

 

 


В этой модели:

 

·       S – субстрат (поступающий в систему со скоростью n)

·       E – фермент (энзим)

·       ES – фермент-субстратный комплекс

·       P – продукт реакции

·       Пренебрегается обратной реакцией P+E ® ES

 

Запишем уравнения, описывающие поведения системы (будем обозначать концентрации веществ соответствующими буквами):

 

 

Заметим, что уравнение (4г) можно исключить из системы, т.к. переменная P не входит в уравнения (4а-4в).

 

Из уравнений (4б) и (4в) следует, что . Следовательно, обозначив , выразим концентрацию свободного фермента:

 

 

 

 

 

 

Используя выражение (5) после преобразований получим:

 

 

Полученная нами система уравнений (6) – полная система, которая адекватно описывает поведение реакции при любых временах.

 

 

Рассмотрим, каким образом получить из (6) выражения для быстрой и медленной систем. Для этого перейдем к новым переменным.

 

 

где под S0 и E0 подразумеваюся некие характерные концентрации субстрата и фермента соответственно. Особенность клетки как биологической системы проявляется в том, что отношение  (т.е. концентрация субстрата много больше чем концентрация фермента).  Получим следующее выражение:

 

 

Разделив оба уравнения системы (8) на S0  будем иметь: 

 

 

 

При этом выражение  играет роль малого параметра e. Таким образом, мы привели нашу систему к виду (2). Отсюда поведение быстрой системы получаем, положив медленную переменную S=S0 и, вернувшись, для удобства, к прежним переменным:

 

Итак, для времен порядка e = поведение полной системы (6) описывается уравнением (10) .

 

Для изучения медленной системы применим теорему Тихонова. Присоединенной системой будет в нашем случае уравнение (9б). Его стационарное состояние определяется из уравнения

 

 

Выразив отсюда  и подставив в (9а), после несложных преобразований получим искомое:

 

 

Упростим (12), введя обозначение Km – константа Михаэлиса:  и вернувшись к исходным переменным, используя (7).

 

 

Уравнение (13) описывает поведение полной системы (6) для “больших” времен.

 

Используя уравнение (4г) для скорости выхода продукта реакции получим:

 

 

Это уравнение было получено Михаэлисом эмпирически при S >> E (т.е. при нашем предположении о распределении концентраций фермента и субстрата).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ

 

Реализуйте численно на компьютере систему дифференциальных уравнений, моделирующую ферментативную кинетику биохимических реакций в клетке. Для решения используйте метод Эйлера. Подберите самостоятельно необходимые параметры (не забудьте, что по условиям S0 >> E0).

 

·       Постройте на одном графике зависимость S,ES от времени для полной системы, S для медленной и ES для быстрой системы. Сделайте выводы о правомерности использования быстрой или медленной систем вместо полной при соответствующих временах.

 

·       Постройте на одном графике зависимость от времени S для полной  и  S для медленной систем  для нескольких различных начальных концентраций свободного фермента E0.

 

·       Постройте на одном графике зависимость от времени ES для полной  и  ES для быстрой систем для нескольких различных начальных концентраций свободного фермента E0.

 

·       Исследуйте качественно полную систему. Определите количество и типы особых точек. Постройте фазовый портрет системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.     Материалы лекций и практических занятий по курсу “Физиологическая кибернетика”.

 

2.     Романовский Ю.М., Степанова Н.В. Чернавский Д.С.  Математическая биофизика. –М: Наука, 1984

Изложены основные методы построения математических моделей биологических процессов, в том числе динамика иммунной реакции, популяционные модели и т.д.

 

3.     Волькенштейн М.В.   Биофизика. –М: Наука, 1981

В книге, в частности, рассмотрены вопросы физики ферментов и кинетика ферментативных реакций.

 

4.     Понтрягин Л.С.  Обыкновенные дифференциальные уравнения. –М: Наука, 1974

Классический учебник по дифференциальным уравнениям.

 

5.     Панченков Г.М., Лебедев В.П.  Химическая кинетика и катализ. –М: Химия,

      1974

Изложены формальная кинетика химических реакций, теория цепных фотохимических реакций, ферментативный катализ.

 

6.     Варфоломеев С.Д., Гуревич К.Г.  Биокинетика. Практический курс. –М: Фаир-Пресс,     1999

Анализируются вопросы, связанные с применением математических моделей для описания развития биологических процессов во времени. Рассматриваются основы химической кинетики, фармакокинетики, клеточного роста и т.д.

 

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить